Rozważmy niejednorodne równanie fal kulistych
\( u_{tt}-a^2\Delta u =f(x,y,z,t), \qquad (x,y,z) \in V,\quad t> 0 \)
z warunkami początkowymi
\( u(x,y,z,0)=\varphi (x,y,z), \quad u_t(x,y,z,0)=\psi(x,y,z), \qquad (x,y,z)\in V, \)
gdzie \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \) są funkcjami klasy \( \hskip 0.3pc C^2\hskip 0.3pc \), a \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^3\hskip 0.3pc \) w zbiorze \( \hskip 0.3pc V.\hskip 0.3pc \)
W celu rozwiązania problemu ( 1 ), ( 2 ) rozbijamy go na dwa problemy oddzielne:
\( u_{tt}=a^2\Delta u, \qquad (x,y,z) \in V,\quad t> 0, \)
\( u(x,y,z,0)=\varphi (x,y,z), \quad u_t(x,y,z,0)=\psi(x,y,z), \qquad (x,y,z)\in V \)
oraz
\( u_{tt}-a^2\Delta u =f(x,y,z,t), \qquad (x,y,z) \in V,\quad t> 0, \)
\( u(x,y,z,0)=0, \quad u_t(x,y,z,0)=0, \qquad (x,y,z)\in V. \)
Rozwiązanie problemu ( 3 ), ( 4 ) dane jest wzorem Kirchhoffa
(zob. twierdzenie 1 w module "Równanie fal kulistych. Metoda uśredniania"). Aby znaleźć rozwiązanie problemu ( 5 ), ( 6 ) rozważmy problem pomocniczy
\( v_{tt}=a^2\Delta v, \qquad (x,y,z) \in V,\quad t\geq \tau >0, \)
\( v(x,y,z,\tau)=0, \quad v_t(x,y,z,\tau)=f(x,y,z,\tau), \qquad (x,y,z)\in V . \)
Ponieważ rozwiązanie problemu ( 7 ), ( 8 ) zależy od \( \hskip 0.3pc \tau,\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc \) będziemy zaznaczać to pisząc \( \hskip 0.3pc v(\cdot ,\,\cdot,\,\cdot,\,\cdot\,;\tau).\hskip 0.3pc \) Wykorzystując wzór Kirchhoffa, rozwiązanie problemu ( 7 ), ( 8 ) możemy zapisać w postaci:
\( v(x,y,z,t\,;\tau)= \dfrac 1{4\pi a^2}\displaystyle\iint\limits_{S \big( P, a(t-\tau) \big)} \dfrac{f(\xi, \eta, \zeta,\tau)}{t-\tau} dS,\qquad (x,y,z)\in V, \hskip 0.3pc t>\tau . \)
Połóżmy
\( \begin{aligned}w(x,y,z,t)=& \int\limits_0^tv(x,y,z,t\,;\tau) d\tau \,\,=\,\,\frac 1{4\pi a^2}\int\limits_0^t\bigg(\,\,\iint\limits_{S (P,a(t-\tau ))}\frac {f(\xi ,\eta, \zeta ,\tau)}{t-\tau}dS\bigg)d\tau\\&= \frac 1{4\pi }\int\limits_0^t\bigg(\,\,\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_{-\pi /2}^{\pi /2}(t-\tau) f\big(\xi(\alpha, \beta) ,\eta (\alpha, \beta) , \zeta (\alpha, \beta\big) ,\tau)\cos \beta\, d\alpha\, d\beta\bigg)d\tau,\end{aligned} \)
gdzie
\( \xi = x+a(t-\tau) \cos \alpha\, \cos \beta , \quad \eta = y+a(t-\tau)\sin \alpha\, \cos \beta , \quad \zeta =z+a(t-\tau) \sin \beta . \)
Pokażemy, że funkcja \( \hskip 0.3pc w\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem problemu ( 5 ), ( 6 ). Istotnie, zauważmy najpierw, że
\( \dfrac {\partial w}{\partial t}(x,y,z,t) = v(x,y,z,t;\,t) +\displaystyle\int\limits_0^tv_t(x,y,z,t\,;\tau) d\tau =\displaystyle\int\limits_0^ tv_t(x,y,z,t\,;\tau) d\tau; \)
\( \dfrac {\partial^2 w}{\partial t^2}(x,y,z,t) = v_t(x,y,z,t;\,t) +\displaystyle\int\limits_0^tv_{tt}(x,y,z,t\,;\tau) d\tau = f(x,y,z,t)+\displaystyle\int\limits_0^tv_{tt}(x,y,z,t\,;\tau) d\tau; \)
\( \Delta w(x,y,z,t) =\displaystyle\int\limits_0^t\Delta v(x,y,z,t\,;\tau)d\tau. \)
Zatem
\( w_{tt}-a^2\Delta w = f(x,y,z,t)+\displaystyle\int\limits_0^t\big(v_{tt}-a^2\Delta v\big)d\tau = f(x,y,z,t), \)
co oznacza, że funkcja \( \hskip 0.3pc w\hskip 0.3pc \) spełnia równanie ( 5 ). Ponieważ w oczywisty sposób funkcja \( \hskip 0.3pc w\hskip 0.3pc \) spełnia również warunki początkowe ( 6 ), jest ona rozwiązaniem problemu ( 5 ), ( 6 ).
Zgodnie z zasadą liniowości rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 ) możemy uzyskać jako sumę rozwiązań problemu ( 3 ), ( 4 ) oraz problemu ( 5 ), ( 6 ), czyli
\( \begin{aligned}u(x,y,z,t)& = \frac 1{4\pi }\Bigg(\dfrac{\partial }{\partial t}\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\displaystyle \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} t\varphi \big(\xi(\alpha, \beta) ,\eta (\alpha, \beta) , \zeta (\alpha, \beta\big) \cos \beta \,d\alpha\, d\beta +\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} t\psi \big(\xi(\alpha, \beta) ,\eta (\alpha, \beta) , \zeta (\alpha, \beta\big) \cos \beta \,d\alpha\, d\beta\Bigg) \\&+\dfrac 1{4\pi a^2}\displaystyle\int\limits_0^t\Bigg(\displaystyle\iint\limits_{S \big( P,a(t-\tau )\big)}\dfrac {f(\xi ,\eta, \zeta ,\tau)}{t-\tau}dS\Bigg)d\tau .\end{aligned} \)
Przykład 1:
Znaleźć rozwiązanie następującego problemu
\( u_{tt}=4(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})+t(x+y+z),\quad u(x,y,z,0)=x,\hskip 0.7pc u_t(x,y,z,0)=y-x. \)
Rozwiązanie to otrzymamy jako sumę rozwiązań problemu
\( u_{tt}=4(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}),\quad u(x,y,z,0)=x,\hskip 0.7pc u_t(x,y,z,0)=y-x \)
oraz problemu
\( u_{tt}=4(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})+t(x+y+z),\quad u(x,y,z,0)=0,\hskip 0.7pc u_t(x,y,z,0)=0. \)
Rozwiązanie pierwszego problemu otrzymamy korzystając ze wzoru Kirchoffa:
\( \begin{aligned}u(x,y,z,t) =& \dfrac 1{4\pi }\Bigg(\dfrac{\partial }{\partial t}\int\limits_0^{2\pi}\displaystyle\int\limits_ {-\pi/2}^{\pi/2} t\big (x+2t\,\cos \alpha \cos \beta\big) \cos \beta \,d\alpha\, d\beta+ \\& \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} t\big(y+2t\, \sin\alpha\,\cos \beta -x-2t\, \cos\alpha\, \cos\beta\big) \cos \beta \,d\alpha\, d\beta \Bigg)=\\& \dfrac 12\dfrac{\partial }{\partial t}\displaystyle\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} tx\cos \beta\,d\beta +\dfrac 12 \displaystyle\int\limits_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} t(y-x)\cos \beta\,d\beta =x+t(y-x).\end{aligned} \)
Rozwiązanie drugiego problemu ma postać:
\( \begin{aligned}u(x,y,z,t)=&\dfrac 1{4\pi}\displaystyle\int\limits_0^t\Bigg(\,\,\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_ {-\pi/2}^{\pi/2} (t-\tau )\tau\big(x+2\tau\, \cos\alpha\,\cos \beta +y+2\tau\, \sin\alpha\, \cos\beta + z+\\& 2\tau \sin\beta\big) \cos \beta \,d\alpha\, d\beta \Bigg)d\tau= (x+y+z) \displaystyle\int_0^t(t-\tau )\tau d\tau = \dfrac 16t^3(x+y+z).\end{aligned} \)
Stąd szukane rozwiązanie ma postać
\( u(x,y,z,t)= x+t(y-x)+\dfrac 16t^3(x+y+z). \)
